Phương trình Poisson và nghiệm cân bằng
Poisson nối điện tích với độ cong điện thế
Dưới cổng ở VG = 1,0 V, điện thế giảm từ 0,579 V ở mặt xuống −0,471 V ở 50 nm, còn trường điện giảm từ 5,4×10⁵ V/cm về 0.
Poisson equation (phương trình Poisson): ∇·(ε∇ψ) = −ρ, E = −∇ψ; điện tích ρ làm trường E đổi theo vị trí, và điện thế ψ cong theo.
Lát cắt đứng qua giữa kênh, x = 0,39 µm, lấy từ nghiệm DEVSIM ở VG = 1,0 V, VD = 0,05 V.
Xem lời đọc
Phương trình Poisson nối điện tích với điện thế. Điện tích là nguồn của điện trường, nên trường đổi theo vị trí khi có điện tích. Ta lấy một lát cắt đứng qua giữa kênh, dưới cổng. Điện thế giảm từ không phẩy năm tám vôn ở mặt xuống âm không phẩy bốn bảy vôn ở năm mươi nanômét. Trường điện lớn nhất ở mặt, cỡ năm phẩy bốn nhân mười mũ năm vôn trên xen ti mét. Rồi trường giảm dần về không khi ra khỏi vùng điện tích.
Điện tích gồm hạt tải và ion tạp chất
ρ/q bằng −1,06×10¹⁸ ở 2,4 nm, −8,1×10¹⁷ ở 19,8 nm, −3,0×10¹⁷ ở 40,4 nm và gần 0 ở 50,2 nm.
ρ = q(p − n + ND − NA), với mọi tạp chất ion hóa hoàn toàn; vùng nghèo chỉ còn ion boron nên ρ ≈ −qNA.
Sát mặt có thêm electron của kênh (n = 3,2×10¹⁷ cm⁻³ ở 2,4 nm); ở sâu, lỗ trống bù lại ion boron.
Xem lời đọc
Điện tích gồm bốn phần: lỗ trống, electron, chất cho và chất nhận ion hóa. Sát mặt, electron của kênh cộng thêm điện tích âm. Xuống sâu hơn, hạt tải gần như hết, chỉ còn ion boron nên điện tích âm cỡ tám nhân mười mũ mười bảy. Tới bốn mươi nanômét, lỗ trống bắt đầu bù lại một phần. Đến năm mươi nanômét, lỗ trống bù hết, điện tích gần như bằng không. Độ lớn của điện tích vì vậy đổi theo độ sâu.
| Độ sâu (nm) | n (cm⁻³) | p (cm⁻³) | N ròng (cm⁻³) | ρ/q (cm⁻³) |
|---|---|---|---|---|
| 2,4 | 3,2×10¹⁷ | 1,6×10² | −7,5×10¹⁷ | −1,06×10¹⁸ |
| 19,8 | 5,0×10⁶ | 1,0×10¹³ | −8,1×10¹⁷ | −8,1×10¹⁷ |
| 40,4 | 7,9×10¹ | 6,3×10¹⁷ | −9,3×10¹⁷ | −3,0×10¹⁷ |
| 50,2 | 5,0×10¹ | 1,0×10¹⁸ | −9,4×10¹⁷ | 6×10¹⁶ |
Ở 50,2 nm, ρ/q = 6×10¹⁶ cm⁻³ là sai số mã hóa của p, được lưu theo bước 0,2 bậc, nên ρ coi như bằng 0 trong sai số đó.
Kiểm Poisson trên nghiệm thật
Từ 10 đến 40 nm, ε·ΔE = −3,67×10⁻⁷ C/cm² và ∫ρ dy = −3,73×10⁻⁷ C/cm², lệch 1,7%.
Dạng tích phân: ε(E₂ − E₁) = ∫ρ dy giữa hai độ sâu, với ε = 11,7 ε₀.
Hai khoảng khác, 5–30 nm và 10–25 nm, lệch 6% và 12% vì ψ, n, p chỉ được lưu 8 bit.
Xem lời đọc
Ta thử kiểm phương trình Poisson trên nghiệm của bộ giải. Lấy độ chênh trường giữa mười và bốn mươi nanômét, nhân với hằng số điện môi của silicon. Rồi cộng điện tích trong đoạn đó. Hai số lệch nhau chưa tới hai phần trăm. Với các đoạn khác, độ lệch lớn hơn, vì điện thế và hạt tải được lưu với độ phân giải hữu hạn. Phương trình được thỏa trên nghiệm, trong sai số của dữ liệu.
Cân bằng p–n có trường nội
Không đặt điện áp nào, dọc lát cắt qua tiếp giáp nguồn–giếng ở 120,5 nm, điện thế vẫn chênh 0,929 V giữa hai đầu và trường cực đại là 1,94×10⁵ V/cm.
Nghiệm cân bằng 1D: n = nieψ/VT, p = nie−ψ/VT, ni = 10¹⁰ cm⁻³ ở 300 K; vùng nghèo, nơi n và p đều nhỏ hơn một nửa |N ròng|, từ 107,5 đến 185,5 nm.
Tổng điện tích dọc lát cắt gần 0: −0,3% so với tổng độ lớn.
Xem lời đọc
Giờ ta bỏ mọi điện áp và giải cân bằng dọc lát cắt qua giữa nguồn. Phía trên là nguồn loại nờ, phía dưới là giếng loại pi. Hạt tải khuếch tán qua tiếp giáp, để lại ion ở hai bên. Vùng nghèo kéo dài từ khoảng một trăm lẻ tám đến một trăm tám sáu nanômét. Hiệu điện thế giữa hai đầu lát cắt là không phẩy chín ba vôn, và trường lớn nhất cỡ hai nhân mười mũ năm vôn trên xen ti mét. Trường nội này có mặt dù không có nguồn áp nào.
Lát cắt đứng qua giữa nguồn, x = 0,075 µm, từ mặt đến 1 µm. Pha tạp ròng lấy từ mô hình giải tích; phương trình Poisson phi tuyến được giải bằng phương pháp Newton tự viết, hai đầu trung hòa điện. Đây không phải nghiệm DEVSIM.
Hiệu 0,929 V là hiệu điện thế giữa hai đầu lát cắt, gồm cả phần giếng pha tạp không đều, không phải điện thế nội của một tiếp giáp lý tưởng. Nó khớp công thức VT[asinh(N₁/2ni) − asinh(N₂/2ni)] với hai đầu trung hòa, N₁ = 3,0×10²⁰ và N₂ = −1,4×10¹⁵ cm⁻³; điểm này chỉ nhắc điều kiện biên, không phải kiểm độc lập. Kiểm độc lập là tổng điện tích gần 0 và dòng bằng 0 ở cảnh sau.
Trôi và khuếch tán triệt tiêu ở cân bằng
Trường E khác 0 nhưng thành phần trôi và khuếch tán của electron triệt tiêu đến 0,4% và của lỗ trống đến 0,06% độ lớn thành phần trôi.
Dòng electron chia cho qμ là nE + VTdn/dy; ở cân bằng hai số hạng cùng độ lớn và ngược dấu tại mọi điểm.
Thấy E khác 0 chưa đủ để kết luận có dòng; phải đọc cả gradient nồng độ.
Xem lời đọc
Có trường điện, vậy có dòng không? Ta đọc cả hai thành phần của dòng electron. Thành phần trôi do trường kéo electron. Thành phần khuếch tán do nồng độ electron đổi theo độ sâu. Tại mọi điểm, hai thành phần cùng độ lớn và ngược dấu. Tổng dòng bằng không, dù trường khác không.
Tỉ số lớn nhất của |tổng| trên độ lớn thành phần trôi lớn nhất dọc lát cắt 0–400 nm: 0,37% với electron, 0,057% với lỗ trống. Phần dư là sai số lấy đạo hàm hữu hạn.
Độ dốc của E cho biết điện tích
Trong vùng nghèo, E giảm 1,18×10⁴ V/cm mỗi nm, ứng với N = 7,6×10¹⁷ cm⁻³, lệch 7% so với boron 8,2×10¹⁷ cm⁻³.
Nếu E hằng theo vị trí thì ρ = ε dE/dy = 0; từ 50 nm trở xuống E bằng 0 và ρ gần 0.
Tại mặt phân cách silicon–oxide không có điện tích tấm, thành phần E vuông góc giảm 3 lần khi sang phía silicon, theo tỉ lệ 11,7/3,9; điều này tính từ điều kiện biên εoxEox = εSiESi, không đọc từ dữ liệu.
Xem lời đọc
Trường tuyến tính theo độ sâu thì điện tích đều. Trong vùng nghèo, trường giảm đều mười một nghìn tám trăm vôn trên xen ti mét mỗi nanômét. Từ độ dốc đó suy ra mật độ ion cỡ bảy phẩy sáu nhân mười mũ mười bảy. Boron trong mô hình là tám phẩy hai nhân mười mũ mười bảy, lệch bảy phần trăm. Còn nơi trường hằng, như dưới năm mươi nanômét, điện tích gần bằng không.
Số liệu
- Thiết bị: NMOS mẫu 180 nm; lát cắt A: x = 0,39 µm (giữa kênh) ở V_G = 1,0 V, V_D = 0,05 V; lát cắt B: x = 0,075 µm (giữa nguồn) ở cân bằng.
- Mô hình: ε_Si = 11,7 ε0; thống kê Boltzmann, ion hóa hoàn toàn, n_i = 1,0×10^10 cm^-3 ở 300 K. Lát cắt A đọc ψ, n, p từ nghiệm DEVSIM mã hóa 8 bit (ψ bước 4,5 mV; n bước 0,1 bậc; p bước 0,2 bậc), pha tạp ròng tính từ mô hình giải tích tại đúng điểm; E = −dψ/dy là đạo hàm hữu hạn; ρ = q(p − n + N_ròng). Lát cắt B là nghiệm Poisson phi tuyến 1D tự giải, hai đầu trung hòa điện, không phải nghiệm DEVSIM.
- Lát cắt A: điện thế 0,579 V ở 0,25 nm và -0,471 V ở 60 nm; E ở mặt 5,41×10^5 V/cm.
- Kiểm Gauss 10,0–40,4 nm: ε·ΔE = -3,67×10^-7 C/cm², ∫ρ dy = -3,73×10^-7 C/cm². 10,0–25,2 nm: tỉ số 0,882; 4,6–29,6 nm: tỉ số 0,941.
- Độ dốc E trong 12–28 nm: -1,18×10^4 V/cm mỗi nm; mật độ ion suy ra 7,61×10^17 cm^-3; boron trung bình 8,16×10^17 cm^-3.
- Lát cắt B: tiếp giáp 120,5 nm; hiệu điện thế hai đầu 0,929 V (công thức 0,929 V); E cực đại 1,94×10^5 V/cm tại 120,0 nm; vùng nghèo 107,5–185,5 nm; ∫ρ/∫|ρ| = -0,30 %; trôi + khuếch tán lệch 0,37 % (electron), 0,057 % (lỗ trống).
- Nguồn: nghien-cuu/transistor-mau/ket-qua/poisson, khung-psi-p; xuat_poisson.py, quy_trinh.py.